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十進位制和二進位制:古代的算術

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甲骨文數字

 

從古到今的數學運算很大程度上是依靠了十進位制的偉大發明;而當今幾乎主宰了生産和生活的一切領域的計算機靠的是二進位制才形成了它的千變萬化。這兩種進位制的發明和确定,都和古代中國人的探索、創造有關。

正整數逢十進一位,逢百進二位,逢千進三位,這種以十爲基數的十進位制,今天看起來是十分簡單合理、自然而然的事情,但是人類還是經過艱辛探索才創造了這種進位制的。數字在中國出現,是在6000年前的新石器時代的晚期,那時用結繩、契木的方式計數。6000多年前的半坡遺址出土的陶片,上面已經出現了數字;距今4000年左右的陝西、山東、上海的出土文物中除表示個位的數字外,已經有10、20、30這樣的記号,表示當時已經使用十進位制。殷商時代的甲骨文上的13個計數文字中,除九個可以确定是個位數之外,還有四個就是十、百、千這樣的位值符号。甲骨文計數系統屬于十進位制成法分群數列,這種數系由1 —9九個數字和若幹個十進位制的位值符号組成。計數時先将兩組符号通過乘法結合起來以表示位值的若幹倍,然後将分群後的位值符号組合(相加)起來。在出土的公元前13世紀的甲骨文中已經有“五百四十七天”的記載,《易經》中更有“萬有一千五百二十”這樣的記載。甲骨文的計數方式一直延續到現代。現代中國數字一二三四五六七八九○,在唐代以前就已經形成,唐代還全面使用了大寫數字壹貳叁肆伍陸柒捌玖零,用在比較正規的場合,又叫做“官文書數字”。在确立了十進位制之後,古代中國還對數的概念進行了擴展,創造出了分數、小數、負數的概念,雖然分數線、小數點、負号不是中國的發明,但是對數的性質的認識,對數的概念的拓展,還是古代中國的天才創造。

 中國使用十進位制在全世界最早。十進位制之所以在中國最早出現,和中國固有的文化是分不開的,漢字是方塊字而不是拼音文字,極大地促進了十進位制的形成。據史料記載,古代巴比倫人一直像後來的羅馬數碼那樣,用相加或累積計數,古埃及和古希臘也都是用特殊的記号來表示20、30、40等10的倍數,比如古希臘半島采用27個字母計數法,從1—9用九個字母表示,10—90再用另外九個字母表示,100—900用剩下的九個字母表示,這種笨拙的特殊位值十進制計數法一直延續到文藝複興前夕。印度人在公元6世紀才開始使用十進位制。而歐洲人正式采用十進位制的最早證據,是公元976年的一份西班牙文的抄本。十進位制是中國對人類作出的不可磨滅的重大貢獻。正如李約瑟博士所說:“如果沒有這種十進位制,就幾乎不可能出現我們現在這個統一化的世界了。”

衆所周知,二進位制是電子計算機的運算基礎,而二進位制的發明人是德國傑出數學家萊布尼茨(G.W.Leibniz,1646—1716),不過他發明二進位制是受了中國古代“先天八卦”的啓發。易經八卦相傳是伏羲畫卦,周文王重卦,太公作爻辭,是一雙魚太極圖,四周圍繞有乾坎震艮巽離坤兌八卦,這八卦就是由長短劃不同排列組合而成的符号。它的象征意義是無極生太極,太極生兩儀,兩儀生四象,四象生八卦,八卦生六十四卦。每一卦都是由陽爻(—)和陰爻(- -)構成。如果以陽爻(—)爲1,以陰爻(–)爲0,按照二進位制的逢2進1的規則,則這從乾到坤的64卦均可以用0和1兩個數字表示出來。如第一卦乾卦爲111111=63,第二卦爲011111=62,第三卦爲101111=61,這樣排列下去,第六十二卦爲010000=2,第六十三卦爲 100000=1,最後一卦爲000000=0。統觀這從乾到坤的六十四卦的排列,其二進位制數序排列恰好爲從63—0的自然數順序排列,真是天衣無縫,巧奪天工!當時,德國大數學家、微積分和數理邏輯的創始人萊布尼茨正在爲創造一部乘法機而遇到困難,一籌莫展,正好他的朋友、到中國去傳教的教士白晉(J.Bouvet,1655—1730)從中國歸來,帶來了《六十四卦次序圖》和《六十四卦方位圖》,萊布尼茨如獲至寶,頓時感到陰陽兩個對立矛盾的面千變萬化的奇妙,對易經和八卦以及它最初的發明者伏羲充滿敬意,受到點撥和啓發,産生了他的二進位制的最早靈感。1703年萊布尼茨在《皇家科學院紀錄》雜志發表了《二進位算術的解說——它隻用0和1并論述其用途,以及伏羲氏所用的古代中國數學的意義》,論述了他的二進位制思想。他認爲,“隻有0和1的二進位制不但具有簡潔的形式,更可以表示宇宙間所有的量。這是上帝的語言!所有的數通過1和0的方式表達,是何等美妙!”早在萊布尼茨之前,北宋的哲學家邵雍(1011—1077)就在他研究《易經》的著作中提出了比較完備的二進位制思想,可惜他的二進位制思想沒有傳播開來。

當今幾乎主宰了生産和生活的一切領域的計算機靠的是二進位制才形成了它的千變萬化。

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